ゴム製品のCAE解析では、ゴム材料特有の大きな変形や非線形な応力－ひずみ関係を正しく表現する必要があります。
一般的に広く使用されているのが、Mooney-Rivlin（ムーニー・リブリン）モデルです。
Mooney-Rivlinモデルは、ゴム材料の変形挙動をひずみエネルギー関数によって表現する超弾性材料モデルの一つです。
CAE解析に使用するには、ゴム材料試験によって取得した応力－ひずみデータから、材料定数（C10、C01）を求める必要があります。
この記事では、Mooney-Rivlinモデルの基本的な仕組みから、材料定数の意味、係数の求め方、二軸引張試験データを活用した回帰方法まで解説します。
1. Mooney-Rivlinモデルとは？
Mooney-Rivlinモデルは、ゴムの大変形時における非線形な力学特性を表現するための超弾性材料モデルです。
金属などの一般的な材料では、比較的小さな変形範囲で応力とひずみの関係を線形として扱える場合があります。
一方、ゴム材料は大きく変形しても破断せず、変形量に応じて剛性が変化する特徴があります。
このような特性を表現するため、ゴムのCAE解析では超弾性材料モデルが使用されます。
Mooney-Rivlinモデルの特徴は、変形状態を表すひずみ不変量を使用して、ゴムのひずみエネルギーを表現することです。
Mooney-Rivlinモデルの主な特徴
- ゴム材料の非線形な応力－ひずみ関係を表現できる
- 大変形を伴うゴム製品のCAE解析に利用できる
- 比較的少ない材料定数で構成できる
- 材料試験データから係数を同定できる
- 多くのCAEソフトウェアで利用できる
2. Mooney-Rivlinモデルの基本式
代表的な2定数Mooney-Rivlinモデルのひずみエネルギー密度関数は、次の式で表されます。
W = C10（I1－3）＋C01（I2－3）
各記号の意味は以下のとおりです。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| W | ひずみエネルギー密度 |
| C10 | 第1材料定数 |
| C01 | 第2材料定数 |
| I1 | 第1ひずみ不変量 |
| I2 | 第2ひずみ不変量 |
ここでは、ゴムをほぼ非圧縮性の材料として扱う場合の基本式を示しています。
実際のCAEソフトウェアでは、体積変形を表現する項を追加した形式が一般的です。
C10とC01の意味
C10とC01は、ゴム材料の変形に対する抵抗の大きさを表す材料定数です。
これらの値によって、解析時のゴム材料の剛性や変形挙動が変化します。
また、初期せん断弾性係数G0は、次の関係で求められます。
G0 = 2（C10＋C01）
つまり、C10とC01の組み合わせによって、ゴム材料の初期剛性が決まります。
※係数の単位は、使用する応力・エネルギー密度の単位系に依存します。例えば応力をMPaで扱う場合は、通常MPaとなります。
3. Mooney-Rivlinモデルの係数を求める方法
Mooney-Rivlinモデルの材料定数は、ゴム材料試験で取得した応力－ひずみデータを使用して求めます。
代表的な方法は、実測データとモデルの理論値との差が小さくなるように、C10とC01を決定する方法です。
STEP1：ゴム材料試験を実施する
まず、ゴム材料の力学特性を測定します。
代表的な試験方法は以下のとおりです。
- 単軸引張試験
- 一軸拘束二軸引張試験（純せん断試験）
- 等二軸引張試験
- 圧縮試験
これらの試験によって、異なる変形状態における応力－ひずみデータを取得します。
STEP2：応力－ひずみデータを整理する
試験によって得られた荷重と変位から、応力と伸長比を計算します。
公称応力Pは、次の式で求められます。
P = F / A0
- F：引張荷重
- A0：初期断面積
伸長比λは、次の式で求められます。
λ = L / L0
- L：変形後の長さ
- L0：初期長さ
このように整理することで、材料試験データをMooney-Rivlinモデルの係数同定に使用できます。
STEP3：Mooney-Rivlinモデルに当てはめる
非圧縮性を仮定した2定数Mooney-Rivlinモデルでは、単軸引張時の公称応力Pは次の式で表されます。
P = 2（C10＋C01/λ）（λ－λ^-2）
この式に実測した伸長比λと公称応力Pを代入し、C10とC01を求めます。
さらに、次のように変形すると、線形回帰によって係数を推定できます。
Y = P / {2（λ－λ^-2）}
X = 1 / λ
このとき、
Y = C10＋C01 X
となります。
つまり、XとYの関係を直線近似することで、
- 切片：C10
- 傾き：C01
として求めることができます。
ただし、これは非圧縮性を仮定した理想的な単軸引張条件における整理方法です。実際の材料同定では、測定範囲やデータ品質、使用する応力定義を確認する必要があります。
STEP4：回帰計算によって係数を決定する
実務では、複数の測定点を使用して最小二乗法などによる回帰計算を行います。
実測値と理論値の誤差が最小となるように、C10とC01を決定します。
単軸引張試験だけでなく、一軸拘束二軸引張試験や等二軸引張試験のデータを組み合わせて、複数の変形状態に対する適合性を評価する方法もあります。
なお、複数の試験データを同時に使用する場合は、それぞれの応力定義やデータの重み付けを統一して回帰することが重要です。
4. 二軸引張試験データを活用する重要性
Mooney-Rivlinモデルの係数を求める際には、単軸引張試験だけでなく、二軸引張試験のデータも重要になります。
単軸引張試験では、一方向に引っ張った場合の材料特性を評価できます。
一方、二軸引張試験では、複数方向の変形状態における材料特性を評価できます。
ゴム製品は、実際の使用環境において複雑な変形を受けるため、単一の試験データだけでは十分に材料特性を再現できない場合があります。
特に、以下のような製品では複数の試験データを活用した材料モデルの検証が有効です。
- 防振ゴム
- ゴムパッキン
- シール材
- ゴムホース
- ダイヤフラム
- ゴム製クッション
対象製品の変形状態に合わせて試験方法を選定することが、CAE解析の精度向上につながります。
5. Mooney-RivlinモデルをCAE解析に使用する際の注意点
Mooney-Rivlinモデルは便利な材料モデルですが、使用する際には注意が必要です。
① 材料定数は試験条件によって変わる
ゴムの配合、硬度、温度、試験速度などによって、応力－ひずみ特性は変化します。
そのため、実際に解析する材料の試験データを使用することが重要です。
② 係数の数値だけでモデルの良し悪しを判断しない
C10とC01の数値だけでは、解析精度を判断できません。
実測データとモデルの理論値を比較し、対象とする変形範囲で適切に再現できているか確認する必要があります。
③ 適用範囲を確認する
材料定数を同定した試験範囲を超えて大きな変形を予測する場合、実測値との誤差が大きくなることがあります。
また、異なる変形状態で不安定な応答が生じないかも確認することが重要です。
6. ものづくりコラボのゴム材料試験・材料データ取得
ものづくりコラボでは、ゴム材料の力学特性を把握するための材料試験や、CAE解析に使用する材料データの取得を支援しています。
対応内容
- ゴム材料の単軸引張試験
- 二軸引張試験
- 一軸拘束二軸引張試験
- 応力－ひずみデータの取得
- Mooney-Rivlinモデルの材料定数算出
- Ogdenモデルなどの超弾性材料モデル構築に関するご相談
- CAE解析用材料データの提供
材料試験から材料定数の算出、CAE解析への活用まで、お客様の目的に合わせてご相談いただけます。
7. まとめ
Mooney-Rivlinモデルは、ゴム材料の非線形な変形特性を表現するための代表的な超弾性材料モデルです。
2定数モデルでは、C10とC01という2つの材料定数を使用し、ゴム材料の応力－ひずみ特性を表現します。
係数を求めるには、単軸引張試験や二軸引張試験などによって取得した実測データを使用し、回帰計算によって材料定数を決定します。
CAE解析の精度を高めるためには、適切な試験方法を選定し、実際の製品の変形状態に合った材料モデルを構築することが重要です。
ゴム材料の試験データ取得やMooney-Rivlinモデルの係数算出でお困りの場合は、ぜひものづくりコラボにご相談ください。
関連サービス
- ゴム材料試験：https://monocollab.jp/rubber-test/
- ゴム材料データ：https://monocollab.jp/rubber-data/
- CAE受託解析：https://monocollab.jp/cae-analysis/
お問い合わせ
ゴム材料の試験やMooney-Rivlinモデルの材料定数算出について、お気軽にお問い合わせください。
